Algèbre linéaire Exemples

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & 0 & 4 3 & 1 & 1 & 0 - 1 & - 5 & - 1 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ - 1 & - 5 & - 1 & 8 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

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Étape 1.1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & 0 & 4 3 - 3 \cdot 1 & 1 - 3 \cdot - 2 & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 4 - 1 & - 5 & - 1 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 1 - 3 \cdot - 2 & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 4 \\ - 1 & - 5 & - 1 & 8 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & 0 & 4 0 & 7 & 1 & - 12 - 1 & - 5 & - 1 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & 7 & 1 & - 12 \\ - 1 & - 5 & - 1 & 8 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & 0 & 4 0 & 7 & 1 & - 12 - 1 & - 5 & - 1 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & 7 & 1 & - 12 \\ - 1 & - 5 & - 1 & 8 \end{array}]$

Étape 1.2

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} + R_{1}

$R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

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Étape 1.2.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} + R_{1}

$R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & 0 & 4 0 & 7 & 1 & - 12 - 1 + 1 \cdot 1 & - 5 - 2 & - 1 + 0 & 8 + 1 \cdot 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & 7 & 1 & - 12 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 5 - 2 & - 1 + 0 & 8 + 1 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & 0 & 4 0 & 7 & 1 & - 12 0 & - 7 & - 1 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & 7 & 1 & - 12 \\ 0 & - 7 & - 1 & 12 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & 0 & 4 0 & 7 & 1 & - 12 0 & - 7 & - 1 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & 7 & 1 & - 12 \\ 0 & - 7 & - 1 & 12 \end{array}]$

Étape 1.3

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

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Étape 1.3.1

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & 0 & 4 \frac{0}{7} & \frac{7}{7} & \frac{1}{7} & \frac{- 12}{7} 0 & - 7 & - 1 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ \frac{0}{7} & \frac{7}{7} & \frac{1}{7} & \frac{- 12}{7} \\ 0 & - 7 & - 1 & 12 \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & 0 & 4 0 & 1 & \frac{1}{7} & - \frac{12}{7} 0 & - 7 & - 1 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & - \frac{12}{7} \\ 0 & - 7 & - 1 & 12 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & 0 & 4 0 & 1 & \frac{1}{7} & - \frac{12}{7} 0 & - 7 & - 1 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & - \frac{12}{7} \\ 0 & - 7 & - 1 & 12 \end{array}]$

Étape 1.4

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}$ to make the entry at

3, 2

$3, 2$ a

0

$0$ .

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Étape 1.4.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}$ to make the entry at

3, 2

$3, 2$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & 0 & 4 0 & 1 & \frac{1}{7} & - \frac{12}{7} 0 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & - 1 + 7 (\frac{1}{7}) & 12 + 7 (- \frac{12}{7}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & - \frac{12}{7} \\ 0 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & - 1 + 7 (\frac{1}{7}) & 12 + 7 (- \frac{12}{7}) \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & - \frac{12}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.5

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

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Étape 1.5.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 (\frac{1}{7}) & 4 + 2 (- \frac{12}{7}) \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & - \frac{12}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.5.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{7} & \frac{4}{7} \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & - \frac{12}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2

The pivot positions are the locations with the leading

$1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions:

$a_{11}$ and

$a_{22}$

Pivot Columns:

$1$ and

$2$

Étape 3

The rank is the number of pivot columns.

$2$